나비에-스토크스 방정식 (Navier-Stokes Equations)

나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)은 유체의 운동을 기술하는 일련의 비선형 편미분 방정식이며, 뉴턴(Newtonian), 비압축(Incompressible), 등온(Isothermal) 조건을 만족하는 유체를 대상으로 합니다. 이 방정식은 유체역학의 기본이며, 유체의 속도, 압력, 밀도, 점성 등을 연결하는 데 사용됩니다. 나비에-스토크스 방정식은 유체의 흐름과 관련된 다양한 문제를 해결하는 데 필수적이며, 기상 예측, 항공기 설계, 해양 공학, 그리고 혈류 동역학 분야에서 널리 적용됩니다.

나비에-스토크스 방정식은 다음과 같은 핵심 원리에 기반합니다:

보존 법칙: 질량, 운동량, 에너지의 보존 법칙을 유체의 흐름에 적용합니다. 이는 유체의 각 부분이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명합니다.

운동량 방정식: 유체 내의 어떤 부피에 대한 운동량의 변화는 그 부피에 작용하는 힘에 의해 발생한다는 원칙을 따릅니다. 이는 뉴턴의 두 번째 법칙(F = ma)에 해당합니다.

나비에-스토크스 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다:

 

$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f} $$

 

\( \rho )\는 유체의 밀도를 나타냅니다.
\( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} )\는 시간에 따른 유체의 속도 벡터의 변화율, 즉 가속도를 나타냅니다.
\( ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v} )\는 유체의 속도 벡터와 그것의 기울기의 벡터 곱을 나타냅니다. 이는 유체의 대류 항(convection term)을 나타냅니다.
\( -\nabla p )\는 압력의 기울기를 나타냅니다. 이 항은 유체 내의 압력 변화에 의한 힘을 나타냅니다.
\( \mu \nabla^2 \mathbf{v} )\는 점성에 의한 힘을 나타내며, 이는 유체의 점성과 속도의 라플라시안(Laplacian)을 곱한 것입니다.
\( \mathbf{f} )\는 유체에 작용하는 외부 힘(예: 중력)의 밀도입니다. 이는 비중량을 의미하며 \( \rho \mathbf{g} )\로도 나타냅니다.

 

https://youtu.be/Ra7aQlenTb8?si=WEzg1jdE8e1F9FPL